Программа междисциплинарного
экзамена по направлению 010300 "Математика, компьютерные науки"
(бакалавриат)
1. Корни и канонические разложения многочленов над полями вещественных и комплексных
чисел. Неприводимые многочлены над полями
2. Теоремы об умножении определителей и о ранге матрицы.
3. Правило Крамера, теорема Кронекера-Капелли и теоремы об однородных уравнениях.
4. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов. Линейные и унитарные
пространства, базы, размерность, подпространства.
5. Линейное преобразование, его матрицы, характеристические корни, собственные
значения и собственные векторы. Жорданова форма матрицы.
6. Уравнения прямых и плоскостей в пространстве. Канонические уравнения кривых
и поверхностей 2-ro порядка.
7. Предел последовательности и предел функции в точке.
8. Теорема о функциональной полноте исчисления высказываний.
9. Непрерывность функции в точке и на отрезке, точки разрыва 1-гo и 2-го рода.
10. Дифференцируемость и дифференциалы функций одной и многих переменных.
Инвариантность формы 1-го дифференциала.
11. Формула Лагранжа конечных приращений.
12. Формула Тейлора с остаточным членом в формах Пеано и Лагранжа.
13. Схема исследования функции и построения ее графика.
14. Числовые и функциональные последовательности и ряды. Равномерная сходимость.
15. Теорема о неявной функции, дифференцирование неявной функции.
16. Градиент, касательная плоскость и нормаль в точке поверхности. Уравнения
касательной и нормали к кривой.
17. Первообразная функции, определенный интеграл, его геометрический и механический
смысл, теорема о среднем значении. Интегрируемые функции.
18. Формула Ньютона-Лейбница. Дифференцирование интегралов с параметром.
19. Кратные интегралы. Теорема Фубини. Поверхностные и криволинейные интегралы.
Формулы Грина, Остроградского, Стокса.
20. Разложение функции по ортогональной системе функций, ряд Фурье, условие
замкнутости ортогональной системы (равенство Парсеваля-Стеклова).
21. Метрика, метрическое пространство. Открытые и замкнутые множества. Фундаментальная
последовательность, полное пространство.
22. Принцип сжимающих отображений.
23. Компактное пространство и множество. Критерий компактности в .
24. Норма, нормированное пространство. Линейный оператор в нормированном пространстве.
Линейный функционал в нормированном пространстве. Три принципа функционального
анализа: теоремы о продолжении линейных непрерывных функционалов, об открытом
отображении и равномерной сходимости.
25. Определение голоморфной функции, уравнения Коши-Римана.
26. Интегральная теорема Коши, интегральная формула Коши.
27. Разложение в ряд Тейлора голоморфной функции, формулы выражения коэффициентов
через производную и интеграл. Теорема единственности.
28. Классификация изолированных особых точек. Теорема о вычетах. Ряд Лорана.
Теорема Руше и принцип аргумента.
29. Дифференциальные уравнения (ДУ) простейших типов и их интегрирование.
30. Теорема Коши-Пикара существования и единственности решения ДУ 1-го порядка.
31. Линейные ДУ -гo порядка с постоянными коэффициентами.
32. Устойчивость решений линейных систем ДУ 2-гo порядка. Классификация особых
точек (узел, седло, фокус, центр и др.).
33. Классификация ДУ в частных производных 2-го порядка.
34. Постановка краевых задач для ДУ в частных производных 2-го порядка. Определение
классического и обобщенного решения краевых задач.
35. Метод разделения переменных.
36. Точные методы решения систем линейных алгебраических уравнений: метод
исключения Гаусса, метод исключения с выбором главного элемента. Сравнение
методов.
37. Метод простой итерации решения систем линейных алгебраических уравнений.
Условия сходимости.
38. Метод простой итерации вычисления корня нелинейного уравнения. Условие
сходимости. Метод Ньютона: формула, геометрическая интерпретация, условия
сходимости.
39. Схема построения разностного решения дифференциальных задач.
40. Явная схема краевой задачи для уравнения теплопроводности. Аппроксимация.
Гармонический анализ.
41. Понятие корректности, устойчивости и сходимости разностной задачи. Теорема
эквивалентности.
42. Классификация интерфейсов вычислительных систем.
43. Основные функции операционной системы.
44. Структуры данных: массивы, записи, множества, списки (стеки, очереди,
деки). Деревья (бинарные, -деревья).
45. Алгоритмы сортировок (элементарные методы сортировки, быстрая сортировка
Хоара, сортировка слиянием), поиска, рекурсий.
46. Основы объектно-ориентированного программирования (инкапсуляция, наследование,
полиморфизм). Списки объектов. Коллекции.
47. Симплекс-метод. Постановка задачи. Способы решения.
48. Матричные игры. Решение игры в смешанных стратегиях.
49. Основные требования к организации баз данных как хранилищ корпоративно
используемых данных. Способы и средства достижения этих требований.
50. Технология проектирования баз данных: этапы проектирования, модели представления
предметной области, синтаксические модели данных.
51. Классическое определение вероятности. Условная вероятность, независимые
события, теоремы сложения и умножения.
52. Дискретные и непрерывные случайные величины, определения и свойства функции
и плотности распределения.
53. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины. Моменты.
54. Сходимость по вероятности, неравенство Чебышева, закон больших чисел в
формах Чебышева и Бернулли.
55. Точечные статистические оценки: несмещенность, состоятельность, эффективность.
Определение и свойства выборочного среднего и выборочной дисперсии.
Список литературы
1. Беклемишев Р.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры /Р.В.Беклемишев.
- М.: Наука, 1981.
2. Курош А.Г. Курс высшей алгебры /А.Г.Курош. - М.: Наука, 1968.
3. Мальцев А.И. Основы линейной алгебры /А.И.Мальцев. - М.: Наука, 1970.
4. Мальцев А.И. Алгоритмы и рекурсивные функции /А.И.Мальцев. - М.: Наука,
1965.
5. Ершов Ю.Л. Математическая логика /Ю.Л.Ершов, Е.А.Палютин. - М.: Наука,
1979.
6. Никольский С.М. Курс математического анализа. Т. 1, 2 /С.М.Никольский.
- М.: Наука, 1975.
7. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления /Г.М.Фихтенгольц.
- М.: Наука, 1970.
8. Зорич В.А. Математический анализ. Т. 1, 2 /В.А.Зорич. - М.: Наука, 1981.
9. Сидоров Ю.В. Лекции по теории функций комплексного переменного /Ю.В.Сидоров,
М.В.Федорюк, М.И.Шабунин. - М.: Наука, 1989.
10. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ /Б.В.Шабат. - М.: Наука, 1985.
11. Колмогоров А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа /А.Н.Колмогоров,
С.В.Фомин. - М.: Наука, 1989.
12. Боровков А.А. Теория вероятностей /А.А.Боровков. - М.: Наука, 1986.
13. Севастьянов Б.А. Курс теории вероятностей и математической статистики
/Б.А.Севастьянов. - М.: Наука, 1982.
14. Крамер Г. Математические методы статистики /Г.Крамер. - М.: Мир, 1975.
15. Березин И.С. Методы вычислений. Т.1 /И.С.Березин, Н.П.Жидков. - М.: Наука,
1987.
16. Бахвалов Н.С. Численные методы. Т.1 /Н.С.Бахвалов. - М.: Наука, 1973.
17. Самарский А.А. Введение в теорию разностных схем /А.А.Самарский. - М.:
Наука, 1971.
18. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения /Л.С.Понтрягин.
- М.: Наука, 1982.
19. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений
/И.Г.Петровский. - М.: Наука, 1970.
20. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения /В.И.Арнольд. - М.:
Наука, 1984.
21. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных /В.П.Михайлов.
- М.: Наука, 1983.
22. Тихонов А.Н. Уравнения математической физики /А.Н.Тихонов, А.А.Самарский.
- М.: Наука, 1977.
23. Вирт Н. Алгоритмы и структуры данных /Н.Вирт. - М.: Мир, 1989.
24. Хоменко А.Д. Базы данных: Учеб. для высших учебных заведений /А.Д.Хоменко,
В.М.Цыганков, М.Г.Мальцев.- СПб: КОРОНА принт, 2000.
25. Карпова Т.C. Базы данных: модели, разработка, реализация /Т.C.Карпова.
- СПб: Питер, 2001.
Гук М. Аппаратные средства РС /М.Гук. - СПб, 1999.