Вопросы к экзамену по методам вычеслений (зима 2004г.)
1) Интерполирование алгебраическими многочленами. Формулировка задачи интерполирования. Интерполяционный многочлен в форме Лагранжа. Разделение разности. Интерполяционный многочлен в форме Ньютона.
2) Погрешность интерполирования. Остаточный член интерполяционной формулы. Оптимальный выбор узлов интерполирования.
3) Сходимость интерполяционного процесса.
4) Интерполяционный многочлен Эрмита
5) Интерполирование сплайнами. Определение сплайна. Параболические и кубические сплайны. Существование и единственность кубического сплайна.
6) Интерп. тригонометрическими многочленами
7) Общая постановка задачи интр-ия. Система Чебышева. Обобщенный интерпол.многочлен
8) Наилучшее приближение функции, заданной таблично
9) Численное дифференцирование. Задача численного диффер-ия. Формулы численного диффер. Применение интерполирования для построения формул численного диффер-ия
10) Задача численного интегрирования. Квадратурные формулы. Составные квадратурные формулы. Принципы построения квадратурных формул.
11) Формула прямоугольника. Квадратурные формулы Ньтона-Котеса
12) Апостериорная оценка погрешности мотедом Рунге. Автоматический выбор шага при численном вычеслении определенных интегралов
13) Метод экстраполяции Ричардсона для повышения точности квадратурных формул
14) Квадратурные формулы интерпол.типа. Теорема о точности квадратурной формулы интерполяционного типа.
15) Симметричные квадратурые формулы. Теорема о точности симметричной квадратурной формулы.
16) Алгебраический порядок точности квадратурных формул
17) Квадратурные формулы Чебышева
18) Квадр.формулы Гаусса. Примеры формул Гаусса. Теорема о точности квадр.формул Гаусса. Наивысший алгебр.порядок точности квадр.формул
19) Численноерешение нелинейных уравнений
20) Метод простых итераций для решения нелинейного уравнения. Теорема о сходимости метода простой итерации. Следствия из теоремы сходимости
21) Метод Эйткена ускорения сходимости итерационных методов
22) Метод Ньютона для решения нелинейного уравнения. Случай простого вещественного корня. Случай кратных коренй. Теоремы о сходимости метода Ньютона
23) Итерационные методы для решения систем нелинейных уравнений. Неподвижная точка оператора. Сжимающий оператор. Теорема (принцип сжимающих отображений)
24) Методы для решения систем нелинейных уравнений: релаксаций, метод Пикара, метод Ньютона, метод Якоби, метод Зейделя, гибридный метод (Зейдель-Ньютон)